পৃথিবীর ব্যাসার্ধ যদি কোন কারণে হঠাৎ সংকুচিত হয়ে বর্তমান মানের অর্ধেক হয়ে যায়, তাহলে দিনের দৈর্ঘ্য কীরূপ পরিবর্তন হবে?

বিস্তারিত সমাধান:

কৌণিক ভরবেগের নিত্যতা সূত্রানুসারে, বাহ্যিক টর্ক শূন্য হলে কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর মোট কৌণিক ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকে।

কৌণিক ভরবেগ, \(L = I\omega = \text{ধ্রুবক}\)

এখানে, নিরেট গোলক হিসেবে পৃথিবীর জড়তার ভ্রামক, \(I = \frac{2}{5}MR^2\)

এবং কৌণিক বেগ, \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

ধরি,

প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = \(R_1\)

সংকুচিত ব্যাসার্ধ, \(R_2 = \frac{R_1}{2}\)

প্রাথমিক অবস্থায় একদিনের দৈর্ঘ্য (পর্যায়কাল), \(T_1 = 24\text{ ঘণ্টা}\)

পরিবর্তিত অবস্থায় একদিনের দৈর্ঘ্য = \(T_2\)

কৌণিক ভরবেগের নিত্যতার সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\(I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2\)

\(\Rightarrow \left(\frac{2}{5} M R_1^2\right) \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \left(\frac{2}{5} M R_2^2\right) \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{R_1^2}{T_1} = \frac{R_2^2}{T_2}\)

\(\Rightarrow T_2 = T_1 \times \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\)

\(\Rightarrow T_2 = 24 \times \left(\frac{R_1 / 2}{R_1}\right)^2\)

\(\Rightarrow T_2 = 24 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow T_2 = 24 \times \frac{1}{4} = 6\text{ ঘণ্টা}\)

অতএব, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ অর্ধেক হয়ে গেলে দিনের দৈর্ঘ্য হবে 6h।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

ভর অপরিবর্তিত রেখে ব্যাসার্ধ \(n\) গুণ পরিবর্তিত হলে নতুন সময়কাল, \(T_2 = T_1 \times n^2\)

এখানে, \(n = \frac{1}{2}\) এবং \(T_1 = 24\text{h}\)

অতএব, \(T_2 = 24 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 24 \times \frac{1}{4} = 6\text{h}\)